Die Onlinebanking-Seiten sind sicher, das sie SSH-Verschlüsselt sind, d.h. über eine "sichere" Leitung gehen. Interne Firmennetzwerke arbeiten meist auch damit. Wo du drauf achten solltest, das du, wenn du onlinebanking machst, nich über Wlan sonder per Netzwerkkabel online gehst.
Zur Deutschen Bank kann ich nich viel sagen. Aber sie ist eine der größten Banken Deutschlands, von daher auch sicher bzw. nicht sicherer wie Commerzbank/Dresdner Bank oder Sparkasse oder sonst noch eine Bank. Da is alles gleich. Wo ich jetzt net hingehen würd, ist eine kleine Privatbank. Von den Konditionen (z.B. kostenloses Girokonto) wird sich nich viel ändern denk ich, da sie ja keine Kunden verlieren wollen.
Infos zum Tagesgeldkonto findest du hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Tagesgeldkonto
(ich würde es heutzutage dem Sparbuch/-konto vorziehen, weil man flexibler ist und es meist auch mehr Zinsen gibt)